Science:Math Exam Resources/Courses/MATH152/April 2016/Question A 23/Solution 2

Alternatively, we can also use row reduction.

Form the augmented matrix $[A|I]=$ $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}2&1&3&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}}\right]$

Interchange $R_{2}$ and $R_{1}$ : $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\2&1&3&1&0&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}}\right]$

$R_{2}-2R_{1}\rightarrow R_{2}$ : $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&-2&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}}\right]$

$R_{3}-R_{2}\rightarrow R_{3}$ : $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&-2&0\\0&0&1&-1&2&1\end{array}}\right]$

$R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$ : $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&-1\\0&1&1&1&-2&0\\0&0&1&-1&2&1\end{array}}\right]$

$R_{2}-R_{3}\rightarrow R_{2}$ : $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-1&-1\\0&1&0&2&-4&-1\\0&0&1&-1&2&1\end{array}}\right]$

Therefore,

$A^{-1}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\2&-4&-1\\-1&2&1\end{bmatrix}}.$